수학 on Nyan101 Blog

소인수분해 알고리즘(Pollard-(p-1), Pollard-rho, Dixon's Random Square)

Wed, 27 May 2020 01:25:33 +0900

지난번 글에서는 이산 로그 문제에 대해 다뤘으니 이번에는 소인수분해 문제를 해결하는 알고리즘에 대해 알아보자. 코드는 이전과 마찬가지로 아래와 같은 수정이 들어간 파이썬 문법을 따랐다.

양 끝을 명시적으로 나타내기 위해 range(st, ed+1) 대신 [st...ed]와 같은 표기를 사용했다.
파이썬에서 거듭제곱을 나타내는 a**b 대신 일반적으로 사용되는 a^b 표기를 사용했다.

지난 이산 로그 문제와는 달리 ~~모두가 알 것이라 믿고~~ 소인수분해 문제에 대한 자세한 설명은 생략한다. 또한 알고리즘 설계를 간단히 하기 위해 소인수분해 문제의 요구조건을 주어진 자연수 n에 대해, 1과 자기 자신(=n)을 제외한 약수를 발견하는 것으로 정했다.

이산 로그 문제(DLP)에 대한 알고리즘(Shanks, Pollard-rho, Pohlig-Hellman)

Fri, 08 May 2020 16:36:14 +0900

암호학, 특히 공개키 기반 암호시스템은 주로 1)소인수분해 문제 혹은 2)이산 로그 문제를 기반으로 설계되는 경우가 많다. 그중 이산 로그 문제와 이를 해결하는 알고리즘에 대해 알아보자. 예시로 든 코드는 기본적으로 파이썬 문법을 따라 작성했으며 가독성을 위해 다음과 같은 부분을 수정했다.

파이썬에서 range(n)은 0부터 시작해 n이 아닌 n-1까지를 포함한다. 양 끝을 명시적으로 나타내기 위해 [st...ed]와 같은 표기를 사용했다.
파이썬에서 거듭제곱을 나타내는 a**b 대신 일반적으로 사용되는 a^b 표기를 사용했다.
mod p에서의 역원을 a^(-1)로 표기했다. 실제 구현에서는 다음과 같이 구할 수 있다.
- 페르마 소정리에 의해 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$이므로 $a\cdot a^{p-2} \equiv 1$에서 $a^{-1} \equiv a^{p-2}$
- $p$가 소수가 아닌 경우, 확장 유클리드 알고리즘을 사용한다

이산 로그 문제

이산 로그 문제는 이산 대수 문제라고도 하며, 순환군 $\langle g \rangle$와 군의 원시근(primitive root) $g$, 그리고 $y \in \langle g \rangle$ 가 주어졌을 때, $y=g^k$를 만족하는 최소의 자연수 $k$를 찾는 문제이다. 암호학에서는 큰 소수 $p$에 대해 $p$로 나눈 나머지들의 모임인 $\mathbb{Z}_p^\ast$를 사용하는 경우가 많다.

Möbius 함수의 정의와 활용

Sun, 31 Mar 2019 21:38:49 +0900

얼마 전 코드포스에서 흥미로운 문제를 접했다. 대회 당시에는 풀지 못했는데, 에디토리얼을 읽어보던 중 뫼비우스 함수(Möbius function)에 대한 언급이 있어 이에 대해 좀더 자세히 알아보았다.

Möbius function의 정의

뫼비우스 함수(Möbius function)는 자연수 n에 대해 다음과 같이 정의된다. ($p$는 소수)